Como interpretar gráficos: funções, superfícies e probabilidade

Um gráfico pode estar bem desenhado e ser interpretado de forma errada. Uma interseção não é necessariamente uma raiz; uma superfície pode esconder uma zona mais baixa; a altura de uma curva em forma de sino não corresponde a uma probabilidade. Obter uma imagem é apenas o início: o importante é compreender a informação que representa.

Antes de observar a curva, coloca três perguntas: o que representam os eixos, que grandezas podem mudar e que relação queres verificar? Vamos aplicá-las a uma função, a uma superfície e a uma distribuição normal, com exemplos que podes explorar nos Gráficos do Algor.

Lê os eixos antes de interpretar a forma

Num referencial cartesiano, um ponto (x, y) associa um valor de entrada ao valor correspondente da função. Se estiveres a estudar y = x² − 4x + 3, o ponto (0, 3) indica que f(0) = 3. Não significa que 3 seja uma raiz: para encontrar os zeros, procuras os pontos em que y = 0.

Verifica também a escala. Uma parábola pode parecer mais estreita porque as proporções da janela mudaram, apesar de a expressão continuar igual. Antes de comparar duas capturas, observa os números dos dois eixos. Num problema aplicado, acrescenta as unidades: uma relação entre segundos e metros precisa de uma interpretação diferente de uma representação de variáveis sem unidades identificadas.

Distingue zeros, vértice e interseções

A função f(x) = x² − 4x + 3 pode escrever-se como (x − 1)(x − 3), pelo que os seus zeros são 1 e 3. Ao completar o quadrado, obténs (x − 2)² − 1 e identificas o vértice (2, −1). São respostas a perguntas diferentes: onde a função vale zero e onde atinge o mínimo.

Acrescenta agora g(x) = x − 1. As interseções satisfazem f(x) = g(x), ou seja, x² − 5x + 4 = 0. As soluções x = 1 e x = 4 dão, por substituição na reta, (1, 0) e (4, 3). Apenas a primeira interseção é também um zero de f. A segunda mostra por que motivo não deves usar os dois conceitos como sinónimos.

Faz uma previsão antes de mover um parâmetro

A reta y = mx − 1 permite isolar o papel do declive. Quando m varia, a inclinação muda, mas a interseção com o eixo vertical continua em (0, −1). Antes de passar de m = 1 para m = 2, prevê o que acontecerá para x = 1 e compara depois com o gráfico.

Assim, transformas uma animação num exercício. Arrastar controlos sem uma pergunta pode produzir muitas imagens sem esclarecer o papel dos coeficientes. Altera um parâmetro de cada vez e escreve o que se mantém constante. Se a previsão falhar, regista o passo errado e a verificação que o corrigiu num caderno de erros.

Uma superfície transforma duas entradas numa altura

Em z = f(x, y), escolhes duas coordenadas de entrada e obténs uma altura. A superfície z = a·sin(x)·cos(y) descreve como z varia sobre um plano inteiro; não é simplesmente uma curva vista de outro ângulo. Na captura, a = 2 e o plano laranja corresponde a z = 1.

A interseção reúne os pontos para os quais 2·sin(x)·cos(y) = 1. É uma curva de nível representada à sua altura. Considera um caso limite: se a = 0, toda a superfície fica em z = 0 e deixa de encontrar o plano z = 1. Esta previsão permite interpretar o parâmetro sem depender apenas da perspetiva escolhida.

Na distribuição normal, conta a área

Uma variável normal padrão tem média 0 e desvio-padrão 1. A probabilidade de assumir um valor entre −1 e 1 corresponde à área sob a curva nesse intervalo: aproximadamente 0,6827, ou 68,27%. O número representa uma proporção da área total, não a altura do ponto central.

A curva representa uma densidade de probabilidade. Para uma variável contínua, um único valor exato tem probabilidade zero, enquanto um intervalo pode ter probabilidade positiva. Se alargares simetricamente os limites, a área aumenta; se os aproximares, diminui. A área sob a curva completa é 1. Encontrar o ponto mais alto não chega, portanto, para responder a uma pergunta sobre um intervalo.

Exemplo resolvido: da região central às caudas

Imagina que um exercício pede a probabilidade de uma variável normal padrão assumir um valor fora do intervalo de −1 a 1. Nos Gráficos do Algor, parte da região central representada e traduz o pedido: procuras valores inferiores a −1 ou superiores a 1. São duas regiões separadas, não um retângulo desenhado por cima da curva.

A área total vale 1 e a central é aproximadamente 0,6827. A probabilidade procurada é, portanto, 1 − 0,6827 = 0,3173, ou cerca de 31,73%. O cálculo usa o acontecimento complementar: tudo o que fica fora da faixa selecionada. Escreve ao lado do resultado quais os valores incluídos, para não o confundires com a probabilidade central.

As duas caudas têm a mesma área, porque a distribuição é simétrica em relação a zero. Cada uma vale aproximadamente 0,15865. Se a pergunta se referisse apenas a valores superiores a 1, responderias cerca de 15,87%, não 31,73%.

Verifica se consegues explicar a imagem

Tenta descrever cada gráfico sem referir as suas cores. No plano, indica a igualdade que define uma interseção. Na superfície, identifica as duas entradas e explica o que representa o plano de corte. Na distribuição normal, transforma a zona colorida numa frase que inclua um intervalo e uma probabilidade.

Fontes e leituras

• OpenStax · Quadratic functions
• OpenStax · Introductory Statistics 2e