Graphen verstehen: Funktionen, Flächen und Wahrscheinlichkeit

Ein Graph kann richtig gezeichnet und trotzdem falsch verstanden werden. Ein Schnittpunkt ist nicht automatisch eine Nullstelle. Eine räumliche Fläche kann ein Tal hinter einem Gipfel verbergen. Und die Höhe einer Glockenkurve ist keine Wahrscheinlichkeit. Entscheidend ist deshalb, welche Aussage du aus einer Darstellung ableitest.

Beginne mit drei Fragen: Was bedeuten die Achsen, welche Größen können sich verändern und welchen Zusammenhang möchtest du prüfen? Wir wenden diese Fragen auf Funktionen, eine Fläche und eine Normalverteilung an. Die Beispiele kannst du in Algor Graphen nachvollziehen und anschließend selbst verändern.

Lies zuerst die Achsen

In einem kartesischen Koordinatensystem verbindet ein Punkt (x, y) einen Eingabewert mit dem zugehörigen Funktionswert. Bei y = x² − 4x + 3 bedeutet (0, 3), dass f(0) = 3 gilt. Daraus folgt nicht, dass 3 eine Nullstelle ist. Nullstellen suchst du dort, wo der Funktionswert y gleich null ist.

Beachte außerdem die Skalierung. Eine Parabel kann schmaler wirken, weil sich das Seitenverhältnis des Ausschnitts geändert hat, obwohl ihre Gleichung dieselbe geblieben ist. Vergleiche deshalb zuerst die Zahlen an beiden Achsen. Bei einer Sachaufgabe gehören auch die Einheiten dazu: Sekunden und Meter geben dem Bild eine konkrete Bedeutung, die eine Darstellung zweier unbenannter Variablen nicht hat.

Unterscheide Nullstellen, Scheitel und Schnittpunkte

Die Funktion f(x) = x² − 4x + 3 lässt sich als (x − 1)(x − 3) schreiben. Damit erhältst du die Nullstellen 1 und 3. Durch quadratische Ergänzung entsteht (x − 2)² − 1; daraus liest du den Scheitel S(2|−1) ab. Beide Rechnungen beantworten unterschiedliche Fragen: Wo ist der Funktionswert null, und wo liegt das Minimum?

Füge nun g(x) = x − 1 hinzu. Für gemeinsame Punkte gilt f(x) = g(x), also x² − 5x + 4 = 0. Die Lösungen x = 1 und x = 4 ergeben nach dem Einsetzen die Schnittpunkte (1|0) und (4|3). Nur der erste ist zugleich eine Nullstelle von f. Der zweite zeigt besonders deutlich, weshalb die Begriffe nicht dasselbe bedeuten.

Formuliere eine Vermutung vor dem Verschieben

An y = mx − 1 lässt sich die Steigung getrennt untersuchen. Verändert sich m, ändert sich die Neigung der Geraden; der Schnittpunkt mit der senkrechten Achse bleibt bei (0|−1). Überlege vor dem Wechsel von m = 1 zu m = 2, was bei x = 1 passiert. Rechne den Wert aus und vergleiche ihn mit dem Graphen.

So wird aus einer Animation eine Aufgabe. Ohne Fragestellung erzeugt das Verschieben von Reglern viele Bilder, aber nicht unbedingt ein Verständnis der Koeffizienten. Ändere jeweils nur einen Parameter und beschreibe auch, was unverändert bleibt. Eine falsche Vermutung kannst du samt Korrektur in einem Fehlerprotokoll festhalten. Entscheidend ist der konkrete Schritt, der die Verwechslung auflöst.

Bei einer Fläche ergeben zwei Eingaben eine Höhe

Für z = f(x, y) wählst du zwei Eingabekoordinaten und erhältst eine Höhe. Die Fläche z = a·sin(x)·cos(y) beschreibt somit Werte über einer ganzen Ebene. Sie ist nicht einfach eine gewöhnliche Kurve aus einem anderen Blickwinkel. In der Abbildung ist a = 2; die orange Ebene entspricht z = 1.

Auf den Schnittkurven gilt 2·sin(x)·cos(y) = 1. Du siehst eine Höhenlinie auf ihrer tatsächlichen Höhe. Prüfe einen Grenzfall: Für a = 0 liegt die gesamte Fläche in z = 0 und trifft die Ebene z = 1 nicht mehr. Diese Überlegung sagt etwas Eindeutiges über den Parameter aus, unabhängig davon, wie du die Ansicht gerade gedreht hast.

Unter der Normalverteilung zählt die Fläche

Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable hat den Erwartungswert 0 und die Standardabweichung 1. Die Wahrscheinlichkeit für einen Wert zwischen −1 und 1 entspricht der Fläche unter der Kurve in diesem Intervall: ungefähr 0,6827 beziehungsweise 68,27 %. Gemeint ist ein Anteil an der Gesamtfläche, nicht die Höhe des mittleren Kurvenpunkts.

Die Kurve stellt eine Wahrscheinlichkeitsdichte dar. Bei einer stetigen Zufallsvariable hat ein einzelner exakter Wert die Wahrscheinlichkeit null; ein Intervall kann dagegen eine positive Wahrscheinlichkeit besitzen. Erweiterst du das Intervall symmetrisch, wächst die Fläche. Rückst du die Grenzen zusammen, wird sie kleiner. Unter der vollständigen Kurve beträgt die Fläche 1. Der höchste Punkt allein beantwortet deshalb keine Intervallfrage.

Rechenbeispiel: von der Mitte zu den Randbereichen

Eine Aufgabe fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Zufallsvariable einen Wert außerhalb des Intervalls von −1 bis 1 annimmt. Gehe in Algors Diagramm-App von der bereits dargestellten mittleren Fläche aus. Gesucht sind Werte unter −1 oder über 1. Das sind zwei getrennte Bereiche unter der Kurve, kein Rechteck oberhalb des Graphen.

Die gesamte Fläche beträgt 1, die mittlere ungefähr 0,6827. Damit ergibt sich 1 − 0,6827 = 0,3173, also etwa 31,73 %. Du berechnest das Gegenereignis: alles, was außerhalb des gewählten Intervalls liegt. Notiere neben dem Ergebnis ausdrücklich, welche Werte du eingeschlossen hast. So verwechselst du die Zahl später nicht mit der Wahrscheinlichkeit für den mittleren Bereich.

Beide Randbereiche sind gleich groß, weil die Verteilung symmetrisch zu null ist. Jeder besitzt deshalb eine Fläche von ungefähr 0,15865. Würde die Frage nur Werte größer als 1 betreffen, wäre die Antwort etwa 15,87 % und nicht 31,73 %.

Prüfe, ob du die Darstellung erklären kannst

Beschreibe jedes Bild, ohne auf seine Farben zu verweisen. Nenne beim Funktionsgraphen die Gleichung, mit der du einen Schnittpunkt bestimmst. Benenne bei der Fläche die beiden Eingaben und erläutere die Schnittebene. Formuliere bei der Normalverteilung einen vollständigen Satz mit Intervall und Wahrscheinlichkeit.

Quellen und weitere Informationen

• OpenStax · Quadratic functions
• OpenStax · Introductory Statistics 2e